Projets de recherches Mathématiques

F. Apéry poursuit sa collaboration avec M. Yoshida (Kyushu) sur les arrangements des hyperplans dans l’espace projectif. A. Hadjar envisage l’étude des sous-variétés invariantes et compactes dans des variétés munies de couples de contact métriques normaux ainsi que l’étude de la géométrie riemannienne des variétés munies de couples de contact métriques normaux dans le cas où les deux feuilletages caractéristiques ne sont pas orthogonaux (courbure, minimalité de certaines sous-variétés remarquables…).

E. Remm travaille sur la conjecture de Vergne « aucune algèbre de Lie nilpotente complexe n’est rigide dans la variété des algèbres de Lie de dimension finie ». Après avoir partagé la variété des lois nilpotentes en familles définies par des invariants, elle a vérifié la validité de la conjecture pour certaines d’entre elles et se propose d’étendre l’étude à d’autres familles.

Les algèbres de Leibniz sont « la version non commutative » des algèbres de Lie, le pendant des algèbres associatives est la notion de dialgèbre associative introduite par J.-L. Loday et les groupes de Lie sont remplacés par les racks de Lie. M. Bordemann travaille sur l’intégration de ces algèbres en collaboration avec F. Wagemann (Université de Nantes).

Une algèbre de Lie-Rinehart est une algèbre de Lie avec une structure supplémentaire. Il s’agit de la version algébrique des algébroides de Lie. M. Bordemann étudie la multiplication de l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie-Rinehart exprimée en termes d’une connexion.

A. Makhlouf poursuit l’étude de la structure et la classification des algèbres Hom-Lie, algèbres Hom-associatives, groupes Hom-Lie et algèbres Hom-Hopf (théorie de Lie, algèbres nilpotentes, algèbres semi-simples et résolubles…). Il s’intéresse par ailleurs aux aspects géométriques, opéradiques et catégoriques des algèbres twistées, ainsi qu’à une théorie des déformations des algèbres Hom-associatives et algèbres Hom-Lie, en termes de structures supérieures, algèbres L ∞ et A ∞ .

La notion classique de représentation des algèbres n-Lie, généralise directement la notion de représentation sur les algèbres de Lie en considérant une action. A. Makhlouf, en collaboration avec Y. Sheng (Changchun, Chine), propose une nouvelle approche des représentations exploitant l’aspect n-aire et de nouveaux types d’extensions.

Une étude des déformations des structures singulières à l’aide de la cohomologie d’Harrison est proposée par M. Bordemann en collaboration avec O. Elchinger et M. Schlichenmaier de l’Université du Luxembourg. Ce projet est financé par le Fonds National de la Recherche Luxembourg.

Dans le cadre de la théorie de Kontsevich, M. Bordemann et A. Makhlouf travaillent sur la quantification des bigèbres de Lie dans le cas gradué, ainsi que dans le cas des bigèbres Hom-Lie (gradué et non gradué).

E. Remm propose l’application de l’arithmétique des intervalles aux systèmes contrôlables associés à des problèmes liés à la mécanique des véhicules.

Actuellement, D. Panazzolo poursuit sa collaboration avec M. Mcquillan. Leur objectif principal est d’obtenir une version générale de leur théorème de résolution, valable en toute dimension. Un tel résultat aura des potentielles applications dans le problème de Green-Griffiths.

Collaboration de N. Chevallier avec Y. Bugeaud de Strasbourg, et Y. Cheung de San Francisco. Ce projet est déjà très avancé. Les exposants d’approximation uniforme ont été introduits par Jarnik dans les années 1930. Le problème est de déterminer la dimension de Hausdorff de l’ensemble des couples de réel dont l’exposant d’approximation uniforme est égal à une valeur donnée.

Collaboration de N. Chevallier avec Y. Cheung. La matrice diagonale 3×3 agit sur les réseaux de . La fonction qui à un réel associe le logarithme de la longueur du plus court vecteur du réseau contient des informations « diophantiennes » importantes sur le réseau . L’étude du comportement à l’infini de cette fonction est l’objet de la géométrie paramétrique des nombres récemment introduite par W.M. Schmidt et L. Summerer. Ils se proposent d’étudier l’extension de cette fonction à tout le sous-groupe des matrices diagonales positives de déterminant 1. Chaque minimum local de cette fonction est associé à un élément = du réseau de . Ces éléments de peuvent être vu comme un développement en fraction continue bidimensionnel du réseau . L’étude portera notamment sur la répartition des minimums de la fonction .

A. Fruchard avec R. Schäfke continuent à développer leur récente théorie des développements combinés et exposée dans leur Lecture Notes. Cette théorie permet de décrire les solutions d’une équation différentielle singulièrement perturbée de la forme au voisinage d’un point tournant, avec des développements mettant en jeu à la fois des fonctions de la « variable lente » x et des fonctions de la « variable rapide » X=x/ɛ. Ici ɛ est un petit paramètre. Cette théorie repose sur un « théorème-clé » de type Ramis-Sibuya qui assure l’existence de tels développements à partir d’estimations exponentielles sur les solutions. Par ailleurs, il y a une vingtaine d’années, ils avaient mis au point une théorie des équations aux différences à petit pas de discrétisation de la forme . Il se trouve qu’une extension des résultats obtenus à cette époque, en particulier l’exponentielle proximité des solutions, sont exactement les hypothèses assurant l’existence de développements combinés. Ceci permet d’obtenir de nouveaux résultats sur les solutions d’équations aux différences au voisinage d’une singularité. En application, ces nouveaux résultats permettent de répondre à des questions provenant de la théorie de l’itération complexe. Ce travail a déjà fait l’objet d’un article publié dans des Proceedings. L’article complet est en cours de rédaction.

A. Fruchard avec T. Zamfirescu s’intéressent à divers objets pouvant enfermer ou, mieux, immobiliser un corps convexe donné. Après avoir utilisé des courbes convexes planes, en particulier des cercles, ils recherchent à présent les cages les plus petites possibles. Une cage est le 1-squelette d’un polytope convexe. Un manuscrit est en voie de finalisation et sera soumis très prochainement.

G. Ahumada travaille sur une extension d’un résultat de Dani-Nogueira (2009) sur la densité des orbites dans du monoïde engendrée par les matrices de transvection élémentaires, à un monoïde engendrée par des transvections généralisées qui sont paramétrées par un homéomorphisme de . Dans le cas où est l’identité il obtient le cas classique. Il étudie aussi l’algorithme euclidien dans ce cadre général et obtient de nouveaux groupes qui ont des propriétés intéressantes dans le cadre de systèmes dynamiques et des représentations de groupes.

C’est le cas dans la conception des valves cardiaques artificielles. Le but de Cornel Murea et de ses collaborateurs est d’écrire un modèle mathématique qui est basé sur des algorithmes d’optimisations performants, sans employer les inéquations variationnelles. Des schémas numériques vont être développés. L’existence des solutions et la stabilité des algorithmes seront étudiés.

B. Brighi poursuit l’étude d’équations différentielles ordinaires issues de la Mécanique des Fluides : étude d’une classe générale d’équations différentielles ordinaires non linéaires du 3^ème ordre, du type = 0, permettant l’obtention de solutions dites similaires ou semblables en théorie des couches limites ; en particulier, il s’intéresse au cas dit de convection mixte correspondant à , en collaboration avec M. Aïboudi et les doctorants de l’Université d’Oran.

Z. Belhachmi en collaboration avec R. Chill (TU Dresde) continue l’étude de systèmes gradient et son extension j-gradient avec divers applications en biologie (modélisation de l’activité neuronale). Parallèlement, il développe les méthodes numériques et les applications pour de tels systèmes avec plusieurs collaborateurs (mathématiciens appliqués e.g. F. Hecht, M. Pierre et neurobiologistes ou chercheurs en imagerie médicale –e.g. ICUBE Strasbourg).

Z. Belhachmi continue divers collaborations, notamment sur les problèmes de corrosion (H. Meftahi), optimisation topologique (une thèse codirigée avec H. Meftahi et A. Ben Abda est en cours), aspects méthodes numériques (F. Ben Belgacem).

Z. Belhachmi et O. Schezer continuent leur collaboration pour étendre leur méthode de détermination de la condition initiale à partir d’observation frontière pour l’équation des ondes à vitesse variable. Un défi qu’ils considèrent actuellement est celui de la détermination simultanée de la condition initiale et de la vitesse de propagation.

Z. Belhachmi et F. Hecht continuent leurs travaux sur le flot optique.